Что такое паразитическое колебание

Еда, в какой бы то ни было форме, необходима для выживания живых существ. Миллионы лет эволюции привели к множеству стратегий добычи пищи, и эти различные взаимодействия являются тем клеем, который связывает экосистемы воедино.

Некоторые стратегии питания знакомы нам больше, например, плотоядные животные (и растения), которые едят других животных, и травоядные животные, питающиеся растениями. Тем не менее, существуют различные виды симбиотических отношений, которые связаны с более тесными и сложными взаимодействиями.

Мутуалистические отношения - это партнерство между организмами, при котором каждая из задействованных форм жизни приносит пользу другой.

Комменсализм - это когда один организм использует другой в своих целях, но не нанося ему явного вреда. Примером могут служить мхи, растущие на коре дерева.

Теперь рассмотрим странный мир паразитизма. Паразит - это живое существо, которое получает пищу и убежище от другого организма, нанося ему вред, но обычно не убивая. Более половины видов жизни на Земли в той или иной степени являются паразитами, а также практически каждый вид может играть хозяина.

Паразиты бывают разных форм и размеров: вирусы и бактерии, различные черви, растения, грибы, насекомые и даже птицы или млекопитающие. Они оказывают огромное влияние на живых существ и их популяции, а также являются основной причиной болезней у людей и других организмов. Как мы увидим ниже, получение необходимых питательных веществ из другого организма может привести к его ослаблению и повлиять на его плодовитость, но более широкие последствия паразитизма зачастую положительные.

Наш мир буквально кишит паразитами - некоторые из них невидимы, а других можно легко увидеть или ощутить. Есть несколько увлекательных примеров более изученных видов паразитов, которые могут помочь нам лучше их понять.

Примеры паразитов:

Грибы практически повсеместны, и многие виды паразитируют на других организмах. Некоторые из наиболее очевидных - те, которые встречаются на деревьях, и образуют множество грибковых тел. Хорошим примером является трутовик ложный осиновый (Phellinus tremulae). В отличие от большинства паразитов, многие грибы убивают дерево-хозяина. Но они косвенно приносят пользу другим видам, обеспечивая среду обитания, необходимую редким беспозвоночным, таким как осиновая бабочка (Hammerschmidtia ferruginea).

Даже некоторые растения имеют более темную, паразитарную сторону. Марьянник луговой (Melampyrum pratense) является частично паразитирующим видом на корнях ряда растений, включая чернику (Vaccinium myrtillus), в то время как на травах паразитирует мытник лесной (Pedicularis sylvatica) и погремок малый (Rhinanthus minor). Паразитические растения могут увеличивать разнообразие видов флоры в своей среде обитания, контролируя при этом большее количество доминирующих видов.

Появление галл на растении служит признаком того, что оно заражено паразитами. Эти аномальные образования являются ответом на некоторых паразитов, вторгающихся в ткани растения. Есть много индуцирующих галлы паразитов: грибы и цинипиды являются одними из наиболее распространенных. Цинипиды, к примеру, заставляют растение вырабатывать вещества, чтобы создать источник пищи и убежища для развития личинок. Растение страдает от нехватки энергии и питательных веществ, которые тратятся на дополнительный рост.

Некоторые галлы, такие как чернильные орешки на листьях дуба (вызванные осами), поддерживают сообщества насекомых, которые, в свою очередь, могут быть пищей для птиц. Посмотрите на крону березы, и вы увидите плотные структуры веток, которые очень похожи на гнезда птиц. Это результат заражения грибами вида - Taphrina betulina.

Кровь - это богатый источник питательных веществ, и есть много кровососущих (или гематофагов) беспозвоночных. Некоторые виды клещей и мошек относятся к числу наиболее опасных паразитов. Самки этих насекомых используют свои пронзительные ротовые части, чтобы питаться кровью теплокровных животных. Они делают это, чтобы получить белок, необходимый для питания их яиц.

Возможно, знание того, что личинки некоторых видов красных клещей паразитируют на взрослых мошках будет для вас небольшим утешением, после укуса мошки. Это ясно показывает, что паразитизм не дает вам иммунитета от паразитов: у большинства паразитов есть свои паразиты.

Паразитизм не всегда включает прямое питание за счет хозяина: некоторые виды используют питание или ресурсы хозяина. Кукушка (Cuculus canorus) хорошо известна привычкой подбрасывать свои яйца в гнезда мелких птиц - стратегия, известная как выводков паразитизм. Луговой конёк (Anthus pratensis) и лесная завирушка (Prunella modularis) - виды птиц, которые являются одними из самых распространенных жертв этой уловки.

Примечательно, что отдельные виды кукушки специализируются на паразитировании отдельных видов птиц. Они кладут яйца, которые соответствует по окрасу яйцам хозяина, таким образом маскируя их. Затем молодая кукушка становится намного больше, чем ее неудачливые хозяева и выталкивает настоящих птенцов из гнезда.

Кража пищи или клептопаразитизм - это когда животное получает свою пищу, похищая добычу, убитую другим животным. Преимущество воровства заключается в том, что животное может есть добычу, которую оно, возможно, не могло убить самостоятельно. Это также экономит энергию и снижает риски, связанные с охотой. Члены семейства вороновые часто используют эту стратегию, также как и хищные птицы. Среди млекопитающих, бурый медведь (Ursus arctos) и волк (Canis lupus) также иногда занимаются воровством убитой добычи.

Паразитоиды - это паразиты, которые в конечном итоге убивают своего хозяина. Они находятся где-то между хищником и паразитом. Есть много паразитоидных ос, откладывающих яйца в гнездах пчелы. Затем личинки осы питаются личинками пчел.

Больше, чем кажется на первый взгляд

Одно животное может быть хозяином широкого спектра паразитов. Как и в случае с взаимными отношениями, когда мы видим отдельное животное, мы на самом деле смотрим на целое сообщество жизненных форм. Например, паразиты благородного оленя (Cervus elaphus) были довольно хорошо изучены, и этот вид служит отличной иллюстрацией диапазона паразитов, обитающих в одном животном.

Среди внутренних или эндопаразитов - печеночная двуустка (Fasciola hepatica), различные черви и микроскопические кишечные паразиты. Внешние или эктопаразиты включают клещей, оленью кровососку (Lipoptena cervi) и личинки носоглоточного овода (Cephenemyia auribarbis).

Пути распространения

От вирусов до клещей, паразиты имеют множество стратегий для распространения с одного хозяина на другого. Вши, например, обычно передаются, когда оба хозяина контактируют между собой. Блохи ползают и прыгают на относительно большие расстояния, а клещи забираются на растения, и ждут, пока проходящий хозяин не зацепит их. Ржавчинные грибы и плесень распространяются с помощью спор, а другие паразитические грибы распространяются при контакте с корнями растений.

Мошка определяет местонахождение своих хозяев, обнаруживая химические сигналы, особенно углекислый газ, выделяемый при дыхании. Бактерия Borrelia burgdorferi, ответственная за болезнь Лайма, живет в кишечнике некоторых клещей и может передаваться другим организмам при укусе зараженного клеща. Это пример того, как паразит может использовать другого паразита в качестве средства передвижения (посредника) для заражения новых хозяев.

Роль паразитов

Паразиты оказывают мощное и комплексное влияние на популяции живых существ в экосистеме. Они играют ключевую роль в регулировании экстремальных колебаний численности в популяциях. Уменьшая фертильность, они также препятствуют тому, чтобы некоторые виды стали многочисленными, давая другим организмам шанс процветать.

Тенденция к естественному развитию экосистем в сторону разнообразия иллюстрируется тем фактом, что монокультуры, созданные людьми (например, поля пшеницы или хвойные плантации), часто подвержены паразитарным заболеваниям, и требует много сил, чтобы держать паразитов под контролем. Разнообразные экосистемы гораздо менее уязвимы для разрушительных эпидемий. Присутствие паразитов со временем способствует сохранению биоразнообразия.

Зяблик (Fringilla coelebs) иллюстрируют влияние паразитов на естественный отбор. Чем меньше паразитов у самцов, тем ярче пигменты в его перьях. Почему это имеет значение? Яркие цветные самцы более привлекательны для самок, так как их гены и иммунитет передаются следующему поколению. Это показывает, что паразиты могут фактически улучшить долгосрочное здоровье популяции.

Паразитизм также влияет на движения животных. Мошки, в частности, вынуждают благородных оленей мигрировать на возвышенности, где более хорошие места для выпаса.

Паразиты не имеют той же популярности, как некоторые "гламурные" виды. Хотя паразитизм вредит отдельным организмам, в более широком контексте эти увлекательные взаимодействия играют незаменимую роль в содействии здоровью и разнообразию экосистемы.

Защита от паразитов

Хозяин обычно пытается избавится от паразитов, где это возможно, и существует множество способов, которыми это может быть достигнуто. Благородные олени валяются в грязи, чтобы удалить эктопаразитов, таких как клещи. Ряд птиц, в том числе глухарь (Tetrao urogallus), избавляются от эктопаразитов с помощью муравьев, распыляющих свою защитную кислоту, которая помогает убивать птичьих паразитов.

Другая защита - это предотвращение. Блохи паразитируют на множестве теплокровных животных. Некоторые виды блох заражают гнезда хохлатых синиц (Parus cristatus). Это заставляет птиц менять места гнездования каждый год, увеличивая спрос на подходящие участки.

У скворца (Sturnus vulgaris) есть интересный способ справиться с паразитами, которые мучают птенцов. Самцы собирают ароматические растения для строительства гнезда. Ароматические масла в растениях повышают устойчивость птенцов к паразитам и повышают их шансы на выживание.

На микроскопическом уровне, некоторые из самых опасных паразитов - вирусы и бактерии, атакуются иммунной системой хозяина.

Паразитические колебания являются нежелательными электронными колебаниями (циклическое изменением выходного напряжения или тока) в электронном или цифровом устройстве. Это часто является причиной обратной связи в усиливающем устройстве. Проблема возникает , в частности , в РФ , аудио- и других электронных усилителей , а также в обработке цифровых сигналов . Это один из основных вопросов , рассматриваемых в теории управления .

Паразитические колебания являются нежелательным по нескольким причинам. Колебания могут быть соединены в другие цепях или излучают радиоволны , вызывая электромагнитные помехи (EMI) к другим устройствам. В аудиосистемах, паразитные колебания иногда можно услышать , как раздражающие звуки в динамиках или наушниках. Колебания тратить энергию и может вызвать нежелательный нагрев. Например, звуковой усилитель мощности , который входит в паразитное колебание может генерировать достаточно энергии , чтобы повредить подключенные акустические системы . Схема , которая колеблется не будет усиливать линейно, так что полезные сигналы , проходящие через стадии будут искажены. В цифровых схемах, паразитные колебания могут происходить только на определенных логических переходов и может привести к неустойчивой работе последующих этапов; например, каскад счетчика может видеть много ложных импульсов и рассчитывать хаотично.

содержание

Причины паразитного колебания

Паразитические колебания в усилительном каскаде происходит , когда часть выходной энергии соединена со входом, с правильной фазой и амплитудой , чтобы обеспечить положительную обратную связь на некоторой частоте. Муфта может происходить непосредственно между входной и выходной проводки с паразитной емкости или взаимной индуктивности между входом и выходом. В некоторых твердотельных или вакуумных электронных устройствах имеются достаточно внутренняя емкость , чтобы обеспечить путь обратной связи. Так как земля является общей для входа и выхода, выходной ток , протекающий через полное сопротивление цепи заземления может также пару сигналов обратно на вход.

В аудиосистемах, если микрофон расположен близко к громкоговорителю, паразитные колебания могут произойти. Это обусловлено положительной обратной связью, с выхода усилителя к громкоговорителю на звуковые волны, и обратно через микрофон к входу усилителя. Смотрите аудио обратную связь .

Условия паразитных колебаний

Обратная связь теория управления разработана для решения проблемы паразитных колебаний в серво системах управления - система колебалась , а не выполнять их намеченную функцию, например , управление скоростью в двигателях. Критерий устойчивости Баркхаузен дает необходимое условие для колебаний; коэффициент усиление контура вокруг петли обратной связи, которая равна усилитель усиления , умноженное на передаточной функции от непреднамеренной цепи обратной связи, должно быть равен единице, а фазовый сдвиг вокруг петли должен быть равен нулем или кратны 360 ° (2π радиан ).

На практике, обратная связь может происходить в широком диапазоне частот (например, рабочий диапазон усилителя); на различных частотах, фаза усилителя может быть различной. Если есть одна частота, при которой обратная связь положительна, а амплитуда условие также выполняется - система будет колебаться на этой частоте.

Эти условия могут быть выражены в математических терминах , используя сюжет Найквиста . Другой способ , используемый в теории контура управления использует Боде участки усиления и фазы в зависимости от частоты. Использование Боде участков, инженер - конструктор проверяет , имеется ли частота , где оба условия для колебаний выполнены: фаза равна нулю ( положительная обратная связь ) , и коэффициент усиления контура равен 1 или больше.

Когда возникают паразитные колебания, проектировщик может использовать различные инструменты инженерного контура управления, чтобы исправить ситуацию - уменьшить усиление или изменение фазы на проблемных частотах.

смягчение

Некоторые меры используются для предотвращения паразитной генерации. Усилители схема раскладывает таким образом , что входные и выходные провода не являются смежными, предотвращая емкостную или индуктивную связь. Металлический экран может быть размещен поверх чувствительных участков цепи. Обходные конденсаторы могут быть помещены в местах соединений источника питания, чтобы обеспечить путь низкого сопротивления для переменного тока сигналов и предотвратить межстадийную связь через блок питание. Там , где печатные платы используются, высокие и низкая мощность этапы разделены и измельчают обратные следы расположены таким образом , что тяжелые тока не текут во взаимно общих частях основного следа. В некоторых случаях эта проблема может быть решена только путем введения другой обратной нейтрализации сети, рассчитывается и корректируется для устранения отрицательной обратной связи в пределах полосы пропускания усилительного устройства.

Паразитное колебание

Паразитные колебания могут иногда существовать только в ограниченные отрезки времени. Так, например, при модуляции иногда возникают паразитные колебания только в те моменты времени, когда напряжение на сетке ( или на аноде) больше некоторой определенной величины. При работе генератора в перенапряженном режиме иногда возникают паразитные колебания в те моменты времени, когда напряжение на аноде значительно меньше напряжения на сетке. В последнем случае лампу можно рассматривать как генератор с положительной сеткой, который, как известно, может генерировать колебания очень высокой частоты. [1]

Паразитные колебания , препятствующие перемещению деталей по лотку, возникают либо вследствие недостаточной жесткости чаши бункера и самого лотка, либо вследствие неуравновешенности сил, являющейся чаще всего результатом неправильной установки и выверки пружин. И в том, и в другом случаях могут возникать дополнительные колебания отдельных участков или целой чаши бункера, в результате чего условия движения деталей по лотку в требуемом направлении ухудшаются и детали либо начинают двигаться в нежелаемом направлении, либо перестают перемещаться вообще. [2]

Паразитные колебания , передающиеся на корпус рабочей машины или фундамент, могут быть уменьшены или даже полностью устранены, если будут уменьшены или устранены колебания основной плиты ВБОУ или вообще тех точек, которыми ВБОУ соединяется с рабочей машиной. [3]

Паразитные колебания могут возникнуть при смене ламп, изменении режима работы усилителей, изменении положения элементов настройки и связи и в ряде других случаев даже при весьма тщательно разработанной схеме и рациональном монтаже. [4]

Паразитные колебания в усилителях на рабочей частоте появляются вследствие нарушения условий устойчивости ( § 30), когда при положительной обратной реакции выполняются условия самовозбуждения. [5]

Паразитные колебания на частотах, отличных от рабочей, появляются оттого, что в схеме усилителя или генератора возникают побочные колебательные системы и цепи положительной обратной связи, для которых выполняются условия самовозбуждения. [6]

Паразитные колебания могут возникнуть и при отсутствии паразитной обратной связи, когда вследствие дина-тронного эффекта у характеристик ламп появляются падающие участки с отрицательным внутренним сопротивлением. [7]

Паразитные колебания на низких частотах обычно возникают из-за образования колебательных систем, состоящих из конденсаторов и дросселей фильтров. [8]

Паразитные колебания проявляются на изображении в виде черно-белых вертикальных столбов с убывающей интенсивностью. Для их устранения применяются различные схемы демпфирования. С-цепоч-ки параллельно отклоняющей системе), которое применяется в генераторах разверток для трубок с малым углом отклонения, гашение паразитных колебаний осуществляется частично внутренним сопротивлением выходной лампы. Одним из недостатков, ограничивающих применение этого способа, является то, что степень демпфирования зависит от размахов токов отклонения, а в реальных условиях часто приходится изменять размеры изображения в ту или другую сторону. [10]

Паразитные колебания обычно наблюдаются в частотном диапазоне от 50 до 200 мгц или в диапазоне от 200 до 1 200 кгц. [12]

Паразитные колебания такого типа могут быть предотвращены путем включения небольшого антипаразитного сопротивления между выводом сетки и блокировочным конденсатором. Дополнительное сопротивление уменьшает Q паразитного контура, и усиление в цепи обратной связи становится недостаточным для возникновения колебаний. Сопротивление 10 ом обычно оказывается достаточным для гашения паразитных колебаний; вместе с тем это сопротивление почти не влияет на нормальную работу усилителя. Использование в цепи экранирующей сетки блокировочного конденсатора, обладающего малой добротностью, также способствует подавлению паразитных колебаний. [14]

Паразитные колебания возникают так-же и в выходной лампе строчной развертки. [15]

Лекция. 1. Колебания. Форма колебаний. Виды колебаний. Классификация. Характеристики колебательного процесса. Условия возникновения механических колебаний. Гармонические колебания.

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро­магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы­ми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы.

Форма колебаний может быть разной.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени рис.1. (В противном случае колебания называются апериодическими). Выделяют важный частный случай гармонических колебаний (рис.1).

Колебания, приближающиеся к гармоническим называются квазигармоническими.

Рис.1. Виды колебаний

Виды колебаний. Колебания различаются по природе:

механические (движение, звук, вибрация),

электромагнитные (например, колебания в колебательном контуре, объёмном резонаторе, колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в радиоволнах, волнах видимого света и любых др. электромагнитных волнах),

электромеханические (колебания мембраны телефона, пьезокварцевого или магнитострикционного излучателя ультразвука);

химические (колебания концентрации реагирующих веществ, при так называемых периодических химических реакциях);

термодинамические (например, так называемое поющее пламя и др. тепловые автоколебания, встречающиеся в акустике, а также в некоторых типах реактивных двигателей);

колебательные процессы в космосе (большой интерес в астрофизике представляют колебания яркости звезд цефеид (пульсирующие переменные звезды сверхгиганты, изменяющие блеск с амплитудой от 0,5 до 2 звезной величины и периодом от 1 до 50 суток);

Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.

Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой :

свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания почти всегда затухающие).

Например, колебания груза на пружине, маятника, моста, корабля на волне, струны; колебания плазмы, плотности и давления воздуха при распространении в нём упругих (акустических) волн.

Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвает затухание).

вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия,

случайные — колебания, при которых внешняя или параметрическая нагрузка является случайным процессом,

связанные колебания - свободные колебания взаимно связанных систем, состоящих из взаимодействующих одиночных колебательных систем. Связанные колебания имеют сложный вид вследствие того, что колебания в одной системе влияют через связь (в общем случае диссипативную и нелинейную) на колебания в другой

колебания в структурах с распределенными параметрами (длинные линии, резонаторы),

флуктуационные, происходящие в результате теплового движения вещества.

Условия возникновения колебаний.

1. Для возникновения колебания в системе необходимо вывести её из положения равновесия. Например, для маятника сообщив ему кинетическую (удар, толчок), либо – потенциальную (отклонение тела) энергию.

2. При выведении тела из положения устойчивого равновесия возникает равнодействующая сила, направленная к положению равновесия.

С энергетической точки зрения это значит, что возникают условия для постоянного перехода (кинетической энергии в потенциальную, энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

3. Потери энергии системы за счет перехода в другие виды энергии (часто в тепловую энергию) малы.

Характеристики колебательного процесса.

На рис.1 представлен график периодического изменения функции F(x), которое характеризуется параметрами:

Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы.

Период — наименьший промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), T(c).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Свободные колебания (или собственные колебания) — это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинети­ческой) при отсутствии внешних воздействий.

Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними обра­зуют систему тел, которая называется колебательной системой.

Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины (см. рис. ниже), входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы). Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.

Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник (см. рис. ниже). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами. Внешними силами называют­ся силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свобод­ные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.

Условиями возникновения свободных колебаний являются:

1) возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;

2) отсутствие трения в системе.

Динамика свободных колебаний.

Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости F (см. рис.) может быть получено с учетом второго закона Ньютона (F = mа) и закона Гука (F_упр = -kx), где m — масса шарика, а — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, k — коэффициент жесткости пружины, х — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось Ох). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение а — это вторая производная от координаты х (смещения), получим:

.

Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: вторая производная координаты по времени (ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника (рисунок) необходимо разложить силу тяжести F_T = mg на нормальную F_n (направлен­ную вдоль нити) и тангенциальную F_τ (касательную к траектории движения шарика — окружности) составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести F_n и сила упругости нити F_ynp в сумме сооб­щают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меня­ющее ее направление, а тангенциальная составляющая F_τ является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения. Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения ma_τ = F_τ и учитывая, что F_τ = -mg sinα, получим:

Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия α име­ют противоположные знаки. Для малых углов отклонения sin α ≈ α. В свою очередь, α = s/l, где s — дуга OA, I — длина нити. Учитывая, что а_τ = s", окончательно получим:

.

Вид уравнения
аналогичен уравнению
. Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жесткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).

Таким образом, свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.

Решением уравнений
и
является функция вида:

То есть координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими:

В уравнении x = x_m cos ω₀ t (или x = x_m sin ω₀ t), х_m — амплитуда колебания, ω₀ — собственная циклическая (круговая) частота колебаний.

Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикрепленного к пружине, справедливы соотношения:

.

Собственная частота тем больше, чем больше жесткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.

Для математического маятника выполняются равенства:

.

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Гюйгенсом (современником Ньютона).

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.

Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т. к. подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятни­ка, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания. Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.

Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции (x = x_m cos ω₀ t (или x = x_m sin ω₀ t)), получим выражение для скорости:

где a_m = ω 2 ₀ x_m — амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических коле­баний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.